12 marca 2020 r.

Dzień dobry

Drogie Uczennice i drodzy Uczniowie

Temat dzisiejszej lekcji: Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Bardzo proszę przeanalizujcie informacje z podręcznika ze stron 236 i 237, przepiszcie treść Tw.1 i tw.2 oraz podsumowanie str.237, w ramach ćwiczeń rozwiążcie zadania 5,6,7,8 str.238.

Życzę owocnej pracy.


13 marca 2020 r.

Dzień dobry

Na dzisiejszej lekcji utrwalicie wiadomości z poprzednich dwóch.

Temat: Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi - ćwiczenia utrwalające.

W ramach treningu w tym temacie proponuję rozwiązanie zadań ze zbioru: 5.3 str.153, 5.9 str.154, 5.10 str.155, 5.13 str.155.

W razie trudności piszcie na Librusie.

Życzę cierpliwości i powodzenia w działaniu!


16 marca 2020 r.

Dzień dobry,

Moi Drodzy,
dzisiaj kolejna lekcja z pracą samodzielną. Nie otrzymałam od Was żadnych zapytań co do polecanych poprzednio zadań, zatem rozumiem, że wszystko rozwiązaliście bez problemu. Zachęcam do pisania w razie trudności - macie do mnie kontakt.

Temat: Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Graficzne rozwiązywanie układów równań.

//Podczas dzisiejszej lekcji powinniście odnaleźć odpowiedź na pytania://
Co to jest układ równań?
Co to znaczy rozwiązać układ równań?
Czym jest rozwiązanie układu równań?
Co to znaczy rozwiązać układ równań graficznie?
Jakie rozróżniamy rodzaje układów oraz ile mają rozwiązań?

//Zapoznaj się teraz uważnie z informacjami na stronie 239 (do definicji 1) w podręczniku, analizuj informacje, zapamiętuj a jeśli nie rozumiesz wróć i przeczytaj ponownie.//

//Zapisz w zeszycie przykładowy układ równań według własnego pomysłu - odpowiadający schematowi oczywiście//

//Przepisz treść definicji 1 i definicji 2 ze strony 239.//

//przeczytaj informację pod definicjami str.239, a następnie przejdź na stronę 240.//

//str. 240 - Tutaj znajdziesz kolejne BARDZO istotne informacje.
Zrób z nich przejrzystą notatkę: wypisz informacje i wykonaj schematyczny rysunek ilustrujący, każdy rodzaj układu równań.//

//Teraz czas na przeanalizowanie przykładów: 1, 2 i 3. Pomogą Tobie w rozwiązaniu zadań ćwiczeniowych. Jeśli czegoś nie rozumiesz cierpliwie czytaj ponownie. Pamiętaj o możliwości kontaktu z nauczycielem :)//

//Jeśli umiesz odpowiedzieć na pytania postawione na początku lekcji to śmiało przejdź do rozwiązywania zadań, jeśli nie umiesz odpowiedzieć - wróć do odpowiednich treści i uzupełnij wiedzę.//

Rozwiąż zadania 1 i 2 str. 242 oraz 3 str.243. Pamiętaj, aby w dwóch różnych tabelkach umieszczać punkty, konieczne do narysowania wykresów poszczególnych równań układu.
Dokumentację swojej pracy prześlij na Librusie lub na e-mail do jutra do godziny 20ej.

Serdecznie pozdrawiam
Monika Gleba


18 marca 2020 r.

Dzień dobry

Dziękuję za przesłane efekty pracy.
Dzisiaj przećwiczycie i utrwalicie umiejętność graficznego rozwiązywania układu równań.

Temat: Graficzne rozwiązywanie układu równań.

Wykonajcie zadanie 4 str. 243

Przypominam, że przygotowując się do narysowania prostej/wykresu równania zazwyczaj musimy przekształcić równanie do odpowiedniej postaci (link do filmiku podany wczoraj - jeśli ktoś ma trudności ), sporządzić tabelki, wypełnić i dopiero rysować. Proszę na rysunku podpisywać wykresy wzorami. Można każdą prostą rysować innym kolorem.

Życzę powodzenia.

Monika Gleba


19 marca 2020 r.

Dzień dobry

Dzisiaj chciałabym, abyście nauczyli się jak rozpoznać bez wykonywania rysunku czy dany układ równań jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny.

Temat: Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne (układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi).

//Na poprzednich lekcjach rozwiązywaliście układy graficznie. Dzisiaj podziałamy algebraicznie.//

//Co oznacza, że układ jest sprzeczny?
Teraz odpowiedz samodzielnie :) lub poszukaj w notatkach :)

Układ jest sprzeczny, gdy nie posiada rozwiązania, wtedy równania opisujące proste nie przecinają się/są RóWNOLEGŁE.

Przykład 1
Zapiszmy układ równań, a następnie przekształcając wyznaczymy z każdego równania y. //wstawiajcie klamerki łącząc równania układu - ja tutaj nie mogę//

-15x + 3y = -3
4 = y - 5x         //przekształcamy każde równanie - spróbujcie sami//

3y = 15x - 3  /:3
-y = -5x - 4  /mnożę przez -1

y = 5x - 1
y = 5x + 4

Otrzymujemy wzory opisujące proste równoległe (współczynnik kierunkowy jest taki sam), które nie maja punktów wspólnych, zatem układ nie posiada rozwiązania, inaczej mówiąc jest sprzeczny.

Przykład 2
Sprawdźmy teraz układ podany poniżej. Też jak poprzednio będziemy przekształcać do postaci y=...

-2x - y + 3 = 0
12 = 4y + 8x    //działaj samodzielnie i pamiętaj o klamerkach//

-y = 2x - 3  /:(-1)
-4y = 8x - 12   /:(-4)

y = -2x + 3
y = -2x + 3

Zauważamy, że otrzymaliśmy takie same równania. Na rysunku proste pokrywałyby się //pamiętacie z poprzedniej lekcji// czyli mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (każdy jest wspólny).
Zatem, możemy stwierdzić, że układ jest nieoznaczony.

Przykład 3
Dany jest układ:

-7x + 2y = 10
3 + y = 2x
//przekształcamy...//

2y = 7x + 10   /:2
y = 2x - 3

y = 3,5x + 10
y = 2x - 3

Równania nie są identyczne jak widać.
Czy równania opisują proste równoległe?
Oczywiście, że nie (różne współczynniki przy x)
Zatem proste, które nie pokrywają się i nie są równoległe mają tylko jeden punkt wspólny (czyli jedno rozwiązanie), więc układ jest oznaczony.

//Mam nadzieję, że wiecie w jaki sposób rozpoznać rodzaj układu ze względu na ilość rozwiązań. Jeśli nie dajcie znać.
Oczywiście to nie jedyny sposób. Możecie poszukać swojego sposobu czyniąc spostrzeżenia podczas pracy. Powodzenia! //


W ramach utrwalenia proszę, abyście rozwiązali zadania ze zbioru:
5.19 str.158
5.20 str.158

Życzę owocnej pracy.


20 marca 2020 r.

Dzień dobry

Zapraszam na kolejną lekcję. Dzisiaj małe wyzwanie, bo coś nowego omówimy, aby nie było nudno.

Temat: Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania.

Temat precyzyjnie opisuje jakich równań dotyczy ta metoda, jednak w skrócie mówiąc: zajmiemy się rozwiązywaniem układu metodą podstawiania.

Do tej pory poznaliście metodę graficzną, w której rysowaliście wykresy równań w układzie współrzędnych. Dziś czas na metodę algebraiczną, co oznacza, że będziemy obliczać.

Metoda podstawiania jak nazwa wskazuje polega na podstawieniu - czego i gdzie to zaraz się dowiecie.

Rozwiązywanie układu polega na przekształcaniu go w taki sposób, aby uzyskać rozwiązanie czyli znaleźć wartości x i y, (o ile układ posiada rozwiązanie).

Zapiszcie układ: //pamiętajcie proszę o klamerce łączącej każde dwa różne równania//
2x + y = 5
3x - 2y = 11
------------- //to znak przypomnienia o klamerce na powyższych równaniach - oczywiście nie piszecie tego, tylko zróbcie mały odstęp przed kolejnym zapisem//

//metoda polega na wyznaczeniu jednej z niewiadomych z dowolnego równania// wybieramy t, którą łatwiej i szybciej wyznaczymy// popatrzcie na równania układu  - którą niewiadomą najłatwiej wyznaczyć? // oczywiście: y! z pierwszego równania// zatem wyznaczmy i zapisujemy to przekształcenie//

y = -2x + 5 // mamy wyznaczony y, więc wstawiamy do drugiego równania w miejsce(zamiast) y wyrażenie -2x + 5// zapiszmy to//
3x -2(-2x + 5) = 11
------------------
y = -2x + 5 // pierwsze równanie przepisujemy, a drugie przekształcamy, aż nie wyznaczymy z niego wartości x // zauważcie, że w drugim równaniu jest tylko jedna niewiadoma, którą z łatwością można obliczyć// działamy//
3x + 4x - 10 = 11
------------------
y = -2x + 5
7x = 21 /:7
--------------

y = -2x + 5
x = 3    //wyznaczyliśmy wartość x, więc wstawiamy do pierwszego równania i obliczmy z niego y//
---------
y = -6 + 5
x=3
----------
y = -1
x = 3

Mamy rozwiązanie! Aby sprawdzić czy otrzymaliśmy dobry wynik możemy wstawić wartości x i y do podanego na początku układu. Dobry wynik potwierdzą otrzymane prawdziwe równości.

Podsumowując: rozwiązaniem podanego układu równań jest para liczb x = 3 i y = -1.

Ciekawa jestem, jak Wam się podoba ta metoda. ??? :)
Polecam  filmik https://www.youtube.com/watch?v=TTWaWRxLW5k&feature=youtu.be
Znajdziecie w nim pełne wytłumaczenie omawianej metody. Jednak chciałabym  prosić o zapisywanie kolejnych przekształceń równań i przepisywania tego równania, które nie jest przekształcane (tak jak w przykładzie z mojego opisu). W polecanym filmiku nie zawsze jest to przestrzegane i niektóre elementy zapisu zostały pominięte.

W ramach treningu proszę o rozwiązanie układów w zadaniach z podręcznika:
1 a,b,c str. 247
2 e,f str. 247

Oczywiście, kto ma czas i chęci można bez ograniczeń rozwiązywać kolejne zadania.

Miłej pracy i dużo cierpliwości. :)


23 marca 2020 r.

Dzień dobry

Moi Drodzy

Na dzisiejszej lekcji będziemy utrwalać metodę podstawiania, ale rozszerzymy o nowe umiejętności i przypadki ilości rozwiązań.

Temat: Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania.

Przykład 1
Rozwiążmy układ:

3x + y = 2
6 - 6x = 2y    //klamerka :)// wyznaczam y z pierwszego równania
------------
y = -3x + 2       //wstawiam do drugiego równania
6 - 6x = 2(-3x + 2)
------------

y = -3x + 2
6 - 6x = -6x + 4
------------
y = -3x + 2
-6x + 6x = 4 - 6
------------
y = -3x + 2
0 = -2  
//Otrzymujemy równanie sprzeczne, zatem cały układ nie posiada rozwiązania, dlatego przekreślamy znak równości w drugim równaniu i zapisujemy komentarz://
Układ sprzeczny - nie posiada rozwiązania.

Przykład 2
Rozwiążmy układ:
-10x = -5y - 5
y + 1 = 2x //wyznaczam y z tego równania
------------
-10x = -5y - 5
y = 2x - 1
------------
-10x = -5(2x -1) - 5
y = 2x - 1
------------
-10x = -10x + 5 - 5
y = 2x - 1
------------
-10x + 10x = 5 - 5
y = 2x - 1
------------
0 = 0
y = 2x - 1

// Pierwsze równanie jest tożsamościowe czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zatem układ też ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zapisujemy://
Układ nieoznaczony - posiada nieskończenie wiele par rozwiązań postaci (x;y)=(x; 2x-1).
Przykładowe rozwiązania: (0,-1) (10,19) (-4,-9).

Przykład 3
Rozwiążmy układ:
4x - 2y = 20
-3x + 3y = -18
------------   //nie mamy w zapisie równań zmiennej x lub y bez żadnego współczynnika, więc możemy podzielić/pomnożyć jedno równanie lub oba (podzielić przez dowolną liczbę różną od zera/pomnożyć można przez dowolną liczbę), aby je uprościć. Ja przepiszę jeszcze raz, a wy działajcie na powyższym zapisie//

4x - 2y = 20  /:2
-3x + 3y = -18  /:3
----------------

2x - y = 10
-x + y = -6
--------------- //A teraz dalej działamy zgodnie z metodą podstawiania// dokonaj samodzielnie przekształceń i obliczeń, a następnie sprawdź wynik//
x = 4
y = -2
// Zapisz komentarz://
Rozwiązaniem układu jest para liczb (x,y) = (4,-2).


Na podstawie podanych przykładów rozwiążcie zadania:
Zadanie 1 d,e,f str.247
Zadanie 2 a,b,c str.247

//Można również, jeśli zauważycie taką możliwość wyznaczać z jednego równania np. 2x =.... , 3y = .... i podstawiać do drugiego równania.//
W razie wątpliwości piszcie e-maile.
Dokumentację pracy prześlecie w Moodle, gdy zostanie wpisany Wasz kurs.

Powodzenia w działaniu!